Funktion d
Inhaltsverzeichnis
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Aufgabe 1 – BHD geringer als 70 cm
Wir definieren zunächst \(d\).
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Es ist zu erkennen, dass
\( \quad \displaystyle{\frac{e^{\frac{t + 125}{40}}}{e^{\frac{t + 125}{40}} + 250}} \)
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stets kleiner als \(1\) ist, da
\( \quad \displaystyle{e^{\frac{t + 125}{40}}<e^{\frac{t + 125}{40}} + 250 } \)
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ist für alle positiven \(t\)-Werte. Ferner muss der Graph des Terms
\( \quad \displaystyle{\frac{e^{\frac{t + 125}{40}}}{e^{\frac{t + 125}{40}} + 250} } \)
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über dem ganzen Definitionsbereich monoton steigend sein, da er nur aus e-Funktionen mit positivem Vorzeichen besteht. Das bedeutet, dass nur der größte Wert für \(t\) Funktion \(d\) maximal werden lässt. Wir überprüfen nun den rechten Rand des Definitionsbereichs. Wir wählen das Werkzeug, dass wir unter \(\boxed{Math2}\) finden,
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um den Grenzwert dafür zu berechnen, dass \(t\) gegen unendlich geht.
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Nur wenn nahezu unendlich viel Zeit verstreicht, bis die Fichte die Brusthöhe erreicht hat, würde der BHD \(70 \; cm\) betragen. Dies ist aber schlichtweg unmöglich. Denn wenn die Fichte in \(100\) Jahren die \(1{,}3 \; m\) noch nicht erreicht hat, ist sie wohl abgestorben.
Daraus folgt, dass der BHD stets unter \(70 \; cm\) bleibt.
\(\\[2em]\)
Aufgabe 2 – Graph
Wir können diesen Graphen zeichnen, indem wir die Funktion \(d\) und \(h\) miteinander verknüpfen. wir gehen dazu in den Bereich \(\boxed{Graph \; \& \; Table}\).
und geben die Funktionsterme, am besten mit \(\boxed{Copy}\) und \(\boxed{Paste}\), ein.
Da die beiden Terme abhängig von \(t\) sind, was im Bereich Graph nicht erlaubt ist, muss bei ihnen das \(t\) durch \(x\) ersetzt werden.
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Mit
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können wir uns die Wertetabelle ansehen.
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Momentan sind die angezeigten \(x\)-Werte von \(1\) bis \(5\). Über dieses Symbol
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ändern wir die Einstellung wie folgt.
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Der Graph kann nun gezeichnet werden mit den Werten aus \(y2\) als \(x\)-Koordinate und den Werten aus \(y1\) als \(y\)-Koordinate.
Bis hier hin ist die Aufgabe erfüllt.
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Darüber hinaus kann noch folgende Frage geklärt werden:
Kann der Graph von der Funktion für die Funktionsgleichung von \(d(h)\) mit dem CAS graphisch dargestellt werden?
Ja, das geht schon. Allerdings muss man da etwas tricksen. Wir bilden dazu die verkettete Funktion \(d \big(t (h) \big)\) aus den Funktionen \(d(t)\) und \(t(h)\). Es muss also folgende Umformung gemacht werden muss:
\( \quad h(t) \quad \longrightarrow \quad t(h) \)
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Das heißt nun, dass bei dem Graphen der Funktion die Achsen vertauscht werden müssen,
also die Umkehrfunktion von \(h\) gebildet werden muss. Um bei der Umkehrfunktion mit den bisherigen Definitionen nicht in Konflikt zu kommen, nehmen wir als neue Variable von \(t\) die Variable \(u\). Wir bilden nun die Umkehrfunktion:
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Der Logarithmus kann nur von positiven Werten gebildet werden, was diese Einschränkung für \(u\) bedeutet:
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Die Höhe der Fichte bleibt also stets unter \(50 \; m\).
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Wir nehmen nun den Term von \(u\) und setzen ihn bei der Definition von \(d\) für \(t\) ein, wobei wir die neue Funktion \(d\) mit der Variable \(v\) belegen.
Das heißt, dass bei dem markierten Term von \(d\)
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der Term von \(u\) anstelle der Variablen \(t\) eingesetzt wird. Dabei soll die neue Funktion von \(d\) nun \(v\) heißen.
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\(v(x)\) ist nun die Funktion \(d \big(t (h) \big)\). Wir schreiben sie in den Arbeitsbereich \(\boxed{Graph \; \& \; Table}\).
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Wir können der Wertetabelle von entnehmen, dass die Höhe der Fichte im Alter von \(15\) Jahren ca. \(2 \; m\) und im Alter von \(80\) Jahren ca. \(48 \; m\) ist.
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Der BHD ist im Alter von \(80\) Jahren \(28{,}15 \; cm\).
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Über
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können wir diese Zoom-Einstellungen
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eingeben. Mit Klick auf das Graphensymbol
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erscheint der folgende Graph.
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